Ni med katt!! Varför piper han och klöser på ytterdörren?

Min första spontana tanke var att han vill gå ut, och han springer ut så fort han får chansen. Men vår 11 månaders gamla hankatt ska vara innekatt så länge vi bor i lägenhet tyckte vi. Vi har gått ut med honom på gården ett par gånger, men han slutar ju inte att skrika vid ytterdörren ändå.
Vi försöker att stimulera honom med att kasta iväg lite pappersbitar (han älskar att jaga pappersbollar och sen komma tillbaka med dom som en hund) men det funkar bara en kort stund när han är på "pip-humör". Annars leker jag med honom med en kattpinne med lite fjädrar på, som han också älskar, men även den funkar bara en kort stund.
Ska poängtera att detta sker oftast när vi ska lägga oss och sen tidigt på morgonen när sambon stiger upp, sådär runt 05.00
Jag är arbetslös och vill sova..dock inte hela morgonen men en stund iaf och jag försöker att ta mig upp hyfsat i tid för att inte bli en latoxe. Men det är svårt eftersom jag måste gå upp för att han ska sluta och det gör att jag blir sååå trött!
Men det är inte allrtid han slutar för att jag har gått upp utan han kan ställa sig vid dörren ett antal ggr under dagen och pipa, försöka klättra upp och pipa ännu mer.

Förövrigt så är han världens underbaraste katt. Kelig, nyfiken, sjukt speciell och älskar att dricka vatten i handfatet. Vi älskar honom verkligen så att göra oss av med honom känns som ett misslyckat alternativ.
Därför söker vi andra mljligheter:

* Vi överväger att skaffa en ny katt (alltså en kompis till den här krabaten) för att se om det är en vän han behöver därför att han är understimulerad..!?

Han började att skrika som mest när vi för tre månader sen flyttade till den lägenhet vi bor i nu (en tvåa på 73kvm) från en betydligt mindre etta. Vi kastrerade honom eftersom vi tyckte det var dags och veterinären sa att han ska sluta med sina han-beteenden om cirkus en månad. Detta var två-tre veckor sedan. Kan skrikande ha mkt med det "hanliga" beteendet eller är han understimulerad och behöver komma ut eller få en vän??

Hjälp detta inlägg blev långt. Men om ni som har katt med liknande problem och har hittat en lösning så dela gärna med er. Jag blir mer än tacksam för svar! Jag börjar känna mig maktlös och en dålig matte när jag inte lyckas få honom att sluta med detta beteende.