Får en tacka nej till jobb om det har tackats ja till annan tjänst som börjar om 6 veckor?

Jag har varit arbetslös ett par månader. Jag tackade ja till ett jobb med en bra lön, typ samma som jag hade innan jag blev arbetslös, med start om 6 veckor. Jag kommer nog få ett till erbjudande med mycket lägre lön, typ 6-7000kr mindre, men antagligen med snabbare start. Har jag rätt att tacka nej till jobberbjudandet, utan att gå en vecka utan A-kassa? Det verkar inte gå (det verkar gå om jag skulle starta inom 1 månad).

Är det verkligen rimligt att jag ska "straffas" för att jag vill ha ett jobb med rätt lön? Hur sker kontakten mellan potentiella arbetsgivare och Arbetsförmedlingen? Kommer de få veta att jag har fått ett erbjudande?