Frågor och svar om Matematik!!

Du tänker alldeles rätt! Enklast är att använda konjugatregeln:
(a+b)(a-b) = a^2-b^2

Dvs. 9 - (x-3)(x+3) = 9 -x^2+9 = -x^2

Om man inte känner sig säker på reglerna går det såklart att multiplicera ihop parenteserna "manuellt".

a)
Hittat på Wikipedia:
To reflect a point through a plane ax + by + cz = 0 you can use the equation I − 2NNT. Where I is the identity matrix and N is the unit vector for the surface normal of the plane.

Normalvektorn till planet i ditt fall är väl (1,-3,1)?
Dvs T = (-1 6 -2, 6 -17 6, -2 6 -1)
(m. reservation för ev. fel, 2NN^T är iaf symmetrisk)

b) Kommer tillbaks när jag tänkt efter

Hmm, efter lite snabbt räknande får jag att din linje går genom (-3, 12, -3) och har riktningsvektorn t*(-5, 17, -7). Stämmer det?

(kom på att mina kommatecken i förra uppgiften borde vara semikolon, menar att de betecknar ny rad i matrisen)

Bryta ut innebär att man hittar alla gemensamma termer och sätter dem utanför i en parantes.

Du har: 3y^3 -5y^2, (vilket är samma sak som 3*y*y*y -5*y*y)

Eftersom y*y^2 = y^3 kan man säga att båda termerna en gemensam faktor på y*y = y^2. Detta innebär att man kan bryta ut den gemensamma faktorn och sätta den utanför en parantes enligt följande:

a(b + c) = ab + ac

Ditt tal blir nu: y^2(3y -5)
OBS: Kolla genom att multiplicera ihop igen:
y^2*3y = 3y^3 och y^2*(-5) = -5y^2

13 + (x-13) - (2-5x) = 2,8     (Ta bort paranteserna, om det är - framför en parantes ändrar man tecken på att i parantesen)
13 + x -13 -2 +5x = 2,8  (Lägg ihop alla siffertermer och x-termer var för sig)
6x - 2 = 2,8     (Adder +2 till båda sidor. I VL blir -2 +2 =, i HL blir +2,8 + 2 =4,8)
6x = 4,8 (Dela med 6 på båda sidor)
x = 0,8

Med risk för att förvirra och abstrahera kan man se det på följande sätt: Det finns inga minus, bara addition av positiva eller negativa tal!

Då blir det såhär:
5(x-4) - 2(x-10) = ?
5*(x + (-4)) + (-2)*(x + (-10)) = ?

Nu multiplicerar vi ihop paranteserna:
5*x + 5*(-4) + (-2)*x + (-2)*(-10) = ?

Multiplikation med olika tecken blir minus och multiplikation med lika tecken blir plus:

5x - 20 - 2x + 20 = ?

Om man använder sig av bilden med tallinjen finns det oändligt många tal. De till vänster om nollan har ett negativt värde och de till höger har ett positivt värde. Man kan lägga ihop alla dessa tal.

Ex: +5 är talet fem steg till höger om 0, -2 är talet två steg till vänster om noll. Om man lägger ihop dessa två tal så går man först fem steg till höger på tallinjen och sedan 2 steg till vänster, vilket gör att man hamnar 3 steg till höger om 0 och således på talet +3 (vilket är samma som talet 3)

Det är lätt att bli förvirrad, men glöm inte att x är ett tal som vilket annat tal som helst, bara att vi inte vet vad det är än.

Om vi går tillbaks till det du skrev först, ser det ut såhär när vi läser:

x^2 + x^2

Att det både står + och - ska tolkas som att vi har två fall, ett där man ska addera den andra termen och ett där man ska subtrahera. Jämför tex. med ekvationen x^2 = 4. Det finns två lösningar till ekvationen (alltså två olika tal som multiplicerade med sig själva blir 4), och man skriver att
x = +2 för att visa detta.

x^2 + x^2 Delas alltså upp i två fall:
x^2 + x^2 = 2 st likadana termer som adderas, dvs 2*(x^2) = 2x^2
x^2  -  x^2 = 2 likadana termer där man subtraherar den ena = 0

Det blir ofta problem när man skriver på dator eftersom det inte finns några vettiga sätt att visa exponenter (iaf inte på familjeliv). 2x^2 ska tolkas som 2*x^2, alltså två stycken x-kvadrattermer. (2x)^2 = 2^2*x^2 = 4*x^2.

Så till ditt nästa problem:
x^2+2.
Om du sätter in tex x=3 inser du att x^2 + 2 inte är x^4 (3^2+2 = 9+2 = 11, 3^4 = 3*3*3*3 = 81)
Om man däremot sätter paranteser runt exponenter stämmer det:
x^(2+2) = x^4
När man inte skriver på dator ser man skillnaden tydligare eftersom, man antingen skriver  "+ 2"  i litet still och upphöjt över de andra talen eller i normal stil och på samma höjd som de andra talen.

Nu inser jag att jag inte var klar

Alltså, när man har ett uttryck med kända konstanter och okända variabler grupperar man efter typ (känd siffa/okänd variabel) och adderar/multiplicerar inom samma grupp:
2*x*2 = 4*x (Vi vet vad 2*2 är och kan förenkla uttrycket genom att samla alla likadana termer till en siffra)

2x^2*2x^2

Man ska läsa det så här:

2*(x^2)*2*(x^2)

Dvs 2 stycken x-kvadrattermer multipliceras med två stycken x-kvadrattermer. Vi vet vad 2*2 är och kan börja med att förenkla det till:

2*2*(x^2)*(x^2) = 4*(x^2)*(x^2)

Kom ihåg att vid multiplikation för man flytta runt termerna - det blir samma sak iaf, jmf 2*3 med 3*2.
Nästa steg är att multiplicera ihop x:

 4(x^2)*(x^2) = 4*x^(2+2) = 4*x^4 = 4x^4

Det är här det där med samma bas kommer in; (2^2)*(2^2)=2^4 eftersom vi använder samma talbas. X är en siffra om man multiplicerar olika x-termer (x^3*x^3 = x^6) med varandra har de samma bas och exponenterna kan adderas. När man adderar funkar det på samma sätt som vanligt, dvs. en x-term (x^3) + en x-term (x^3) blir 2 x-termer, dvs 2*x^3

2x^2+12x+9-3x^2-4

Man börjar med att gruppera allt efter vilken typ av termer det är:

2x^2 - 3x^2 + 12x + 9 - 4 = -x^2 + 12x + 5

Två stycken x^2 minus 3 st x^2 blir -1*x^2= -x^2
Du har bara en x-term vilket gör att den blir oförändrad.
Konstanterna räknar man på som vanligt: + 9 - 4 = 5

Ser att maitillin redfan har svarat, men tänkte visa ett alternativt sätt att tänka. pq-formel är iofs bra, men om man inte förstår den är det lätt att man gör fel med tecken och så.
Vi börjar med den andra ekvationen (här gör jag precis som maitllin):

x^2 + 12x = 0

Precis som hon sa är det lättast om man faktoriserar vänsterledet, dvs. hittar det som är gemensamt för båda termerna och gör om det till paranteser som man multilicerar ihop. Den enda gemensamma termen hos x^2 och 12x är x:

x^2 + 12x = x(x + 12)
Nu har du två saker som ska multipliceras ihop. Produkten kommer att bli 0 om en av termerna är 0, dvs du får två ekvationer:

x = 0 och (x +12) = 0

Den första är jätteenkel och ger  såklart x=0, den andra ger  x = -12. Sätt in i första uttrycket och kolla att det stämmer:

-12*-12 + -12*12 = 144 -144 = 0
0*0 + 0*12 = 0

Nu tar vi den första ekvationen:

4(x+7)^2 = 36

Efetrsom du har faktorer som ska muliplicerar på båda sidor är det enklast om man börjar att dela med 4 på båda sidor:

4(x+7)^2 /4 = 36/4   <=>    (x+7)^2 = 9  (dessa två ekvationer betyder samma sak)

Nu har du ett uttryck, x+7, som i kvadrat ska bli 9. Det finns två saker som i kvadrat blir 9, -3 och 3. Du får alltså två ekvationer:

x +7 = -3 och x + 7 = 3

Dessa är ganska lätta att lösa ut, säg till om du inte vet hur man gör.

Även om jag inte brukar förespråka att lära sig saker utantill så är det en del grundregler man bör kunna i matte för att förstå vad som händer, ungefär som att veta hur saker ska uttalas på engelska eller så, så jag tänkte snabbt gå igenom vad olika tecken betyder =)

^2 betyder att man multiplicerar någonting med sig själv 2 gånger:
3^2 = 3*3 = 9
(x + 7)^2 = (x + 7)*(x + 7) = x^2 + 14x + 49

När någonting står famför en parantes och man vill ta bort parantesen multiplicerar man men allt som står inannför:
2*(3+4) = 2*3 + 2*4 = 6 + 8 = 14
Lättaste sättet att förstå varför man gör så ät nog att tänka at det som står inuti parantesen är en enhet som hör ihop och när man multiplicerar ihop parantsen måste man  göra det för varje term som står i parantesen.

Att faktorisera innebär att man hittar alla genemsamma faktorer och bryter ut dem utanför:
3x + 9x^2 = 3x(1 + 3x)
6xy + 8y^2 = 2y(3x +4y)
Man sätter dom alltså utanför parantesen och "tar bort" den gemensamma faktorn från varje term. Jämför med hur man gör när man multiplicerar ihop paranteser.

Det är inte alls så svårt som det verkar =)

Det finns en regel som heter kvadreringsregeln som säger att (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, men det den egentligen säger är bara slutresultatet man får om man multiplicerar ihop två paranteser:

(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab +b^2

ab = ba, jämför med 3*2 = 2*3
ab + ab = 2 st ab-enheter = 2ab

Det stämmer alldeles utmärkt. Du får nu två ekvationer:

t1 = x^2 = -3 +7 =4
t2 = x^2 = -3 -7 = -10

Den andra ekvationen saknar reella lösningar (det finns komplexa, men det är aktuellt inte förrän matte e) så den struntar vi i.

Den första ekvationen har två lösningar:
x1 = -2 och x2 = 2

Utveckla paranteserna:

(x + 4)^2 -16(x+ 4) +63 = 0

X^2 + 8x + 16 -16x - 64 + 63 = 0
x^2 -8x + 15 =
x = 4 +- sqrt( 4^2 -15) = 0
x = 4 +- 1 = 0

x1 = 3, x2 = 5

(ett annat alternativ är att göra envaribaelsubstitution i början, t = x + 4, vilket ger:

t^2 -16t + 63 = 0
t = 8 +- sqrt(8^2 -63)
t = 8 +- 1
t1 = 9, 72 =7

Sätt in t = x+ 4:
9 = x1 + 4  => x1 = 5
7 = x2 + 4  => x2 = 3

En variabelsubstitution skulle det såklart stå och t2 = 7

Vi kan börja med den "formeln" nu nämner:
b - a = (-1)*(a - b) eftersom (-1)(a - b) = (-1)*a - (-1)*b = -a + b = b - a

Ska allt vara delat med 4 eller bara sista termen? Det är väldigt viktigt att du markerar detta korrekt (med paranteser) för annars blir det fel. (jag sfytar på att du nämer att man ska bryta ut -1 ur täljaren)

Om allt är delat med 4 blir svaret såhär:
(3-2x-x^2)/4 = (-1)(x^2 + 2x -3)/4

Annar blir svaret såhär:
3-2x-x^2/4 = 3 - 2x + (-1)x^2/4'

Allt hör att göra med att om du multiplicerar något med -1 så byrter det tecken, alltså måste man byta tecken när man bryter ut -1 ur ett uttryck.

Tänk på att 1/(-1) = -1

Nej, det är jättebra! Så är det bara att fortsätta med precis samma sak som du gjorde alldeles nyss.