Kan man skriva på faderskapsintyget men inte ha delad vårdnad om man är sambos?

Du har absolut fel. Jag satt med i en tingsrättsförhandling för en månad sedan, där en pappa stämde för umgänge (och fick det). Pappan hade inte vårdnaden. Som grund för beslutet låg givetvis att samhället betraktar honom som pappa (trots att han inte har vårdnaden) och att han var lämplig för umgänge.

Även föräldrar utan vårdnaden kan ha vissa rättigheter som förälder. Barn men en förälder utan vårdnad har rätt till sin förälder om inga försvårande omständigheter finns.

Ja! Faderskapet var fastställt. Och det var INTE kopplat till vårdnaden. Den pappan kommer som jag bedömer det aldrig få vårdnaden. Trots det anses han som pappa. 

Absolut inte. Det finns massor med människor som har fastställt föräldraskap som inte är vårdnadshavare. Dessa föräldrar har också rättigheter kopplat till sitt föräldraskap trots att de inte är vårdnadshavare. 

Se mitt exempel ovan om tingsrättsförhandlingen.