Behöver råd snabbt !

Jag är föräldraledig till 1 februari 

Just nu har jag en stor chans att få byta jobb.
Mitt nuvarande jobb är mån-fredag 7-16. Tar jag det nya jobbet det innebär det obekväma arbetstider. 

Nu till min stora fundering 
Jag ska skriva avtal snart för det nya jobbet. dom vill gärna att jag hoppar in lite extra nu för att sedan få provanställning 1 februari. 
Jag har inte sagt upp mig från mitt andra arbete än

kan jag hoppa in och jobba extra på det nya även om jag inte sagt upp mig från det gamla jobbet ?

Och om jag säger upp mig nu (1 månad uppsägning) kommer jag alltså anses som arbetslös mellan tiden jag säger upp mig till 1 februari ? Och vet då inte hur det blir med min SGI ?
Tycker detta är skitsvårt jobbigt då jag måste få reda på svar inom närmsta veckan 
Tacksam för svar !