förvirrad pappa

Hej.
Jag skulle mest behöva lite råd eller tips, om jag tänker fel eller logiskt.

Jag träffar mitt barn med kontaktperson(jag valde det av olika skäl) nu ska barnet få komma hem till mig en dag av umgängesdagarna.
Kontaktpersonen kommer då åka hit med barnet samt skjutsa hem det till sin mamma.
Kontaktpersonen säger att JAG måste köpa en bilbarnsstol och ge till henne.
Jag föreslog att eftersom mamman ändå tar sig med bil till överlämnandet så kan väl bilbarnsstolen följa med? Mamman har ju redan en, då följer den ju med tillbaka med barnet.
Men Kontaktpersonen menar på att jag ska köpa en som hon ska ha hela tiden, jag ska alltså köpa en bilbarnsstol till mitt barn som jag aldrig själv får köra. Är det realistiskt?
Självklart hade jag köpt en bilbarnsstol om jag skulle köra barnet.
Behöver jag tillägga att mamman får underhåll och barnbidrag..

Hoppas ni förstår min undran...