emmadessie skrev 2017-02-06 00:28:22 följande:
Okej. Men om vi säger att jag ska kunna ta reda på om t.ex talet 3472 är primtal eller sammansatt tal hur gör jag det på lättaste sättet? Ska man då förenkla talet till siffersumma först och se om man kan dela den på något sätt? Eller ska jag använda mig av faktorträdet?
För jag tänker såhär med talet 63. 6+3=9 och 9 kan man dela med 3. Så det är ett sammansatt tal.
Men sen har vi 19. 1+9=10 den kan man ju dela med t.ex 5 eller 2. Men den är ändå ett primtal. Jag förstår inte riktigt hur DET funkar. :)
Primtal (först ett mycket förenklat försök till förklaring för de som inte hört talas om primtal)
När man håller på med primtal och sammansatta tal använder man bara heltal. Om man får ett decimaltal (som t.ex. 8,5) så håller man inte på med primtal. Om man har ett minustecken i talet tar man bort det innan man kontrollerar om det är ett primtal. Men om man skall räkna vidare får man inte glömma bort att stoppa tillbaka minustecknet igen.
Noter att alla heltal går dela med sig själv och ett (1). Vilket är anledningen till att man brukar säga att ett primtal bara kan delas med sig själv och ett. Det som är intressant är om det finns något annat heltal som man kan dela talet med för att få ett svar utan decimaler.
Om vi tar siffran 3 så går den dela med 3 (3/3=1) och ett (3/1=3) men inte med 2 (3/2=1,5 decimaltal vilket vi inte ville ha). Vi vet då att 3 är ett primtal. Vi gör samma sak med siffran 4. (4/1=4) (4/2=2 här får vi ett heltal som resultat och vi vet då att 4 inte är ett primtal).
Mycket förenklat så kan man säga att när man har provat dela ett tal med alla heltal som är lägre och misslyckats med att få ett heltal som svar så har man hittat ett primtal.
Nu förstår de flest att man kan ju inte sitta och prova sig fram genom att dela alla tal med alla andra. Vi måst hitta ett annat sätt att göra det på. Vi använder oss av de regler som generationer av matematiker har använt åratal åt att skapa (och testa att de stämmer) för att vi skall få det lättare.
Reglerna fungerar bara om de används som det är tänkt. Det vill säga siffersumman används bara för att se om ett tal är delbart med tre. Får man ett annat resultat får man prova en annan regel. Eller om man inte hittar någon regel göra det på det besvärliga sättet, räkna.
Så tillbaka till dina frågor.
Siffersumman har redan gåtts igenom så vi tittar på en annan regel.
Alla tal som slutar med ett jämnt tal (0,2,4,6,8) går dela med två och är alltså sammansatta tal. MEN om du har en ensam 2:a så är det ett primtal eftersom det bara går dela med sig själv och ett. En ensam 2:a är det enda jämna primtal som finns.
Om vi tar talet 3472 så ser vi att det är ett jämnt tal. Vi vet då att det är ett sammansatt tal. Vi provar dela det med två bara för att förvissa oss om att det är sant. (3472/2=1736*2) så vi har allt så ett sammansatt tal.
Steg två är att fortsätta dela det med två till det inte längre går. (1736/2=868); (868/2=434); (434/2=217). Det senaste talet går inte dela med två då det inte är ett jämnt tal och vi får 108,5 som svar om vi försöker. Vilket inte är ett heltal och alltså inte har något med primtal att göra. Om vi struntar i det sista delningsförsöket som inte gav ett heltal och räknar ihop vad vi hittills gjort så får vi (2*2*2*2*217=3472).
Steg tre nu börjar det bli lite besvärligare. Vi har alltså talet 217 som inte går dela med två. Då får vi prova dela det med nästa primtal som är 3. Vi använder siffersumman för att kontrollera om vi kan dela det med 3 (2+1+7=10) vilket inte är delbart med tre. För säkerhetsskull så provar vi ändå (217/3=72,33 vi får ett decimaltal vilket vi inte vill ha)
Vi får då gå vidare till nästa primtal som är fem. Men för att ett tal skall var delbart med 5 måste det sluta på 5 eller 0. Vårt tal slutar på 7 och vi kan alltså hoppa över 5 och istället prova nästa primtal som är 7. (217/7=31). Det gick alldeles utmärkt. Nu har vi ett så litet tal att vi kan gå igenom samtliga gångertabeller och eftersom vi inte hittar 31 som svar i någon av gångertabellerna så har vi ett primtal. vi kan nu sammanfatta det hela. Vi får (2*2*2*2*7*31=3472). Varje sammansatt tal har en unik kombination av primtal. För 3472 är den kombinationen 2^4*7*31.
Jaha vad har vi nu för nytta av detta? För tillfället ingen nytt alls men i matematiken är det så att vissa saker måste man nöta in utan att det direkt framgår varför man gör det. Så kommer plötsligt en dag då man stöter på ett problem där det man nött in kommer till användning och man inser att det mesta inom matematiken, hur onödigt det än känns för tillfället, finns där av en orsak. Ofta är orsaken att det i slutänden innebär mindre jobb för matematikern eftersom vad du nött in är genvägar som är bra att ha när du räknar mer komplicerade tal.
Som hemläxa lämnar jag "Eratosthenes såll". Sålla ut alla primtal från 1 till 100. Jag tror det ger en mer handfast förståelse av primtal om man själv får plocka fram de lägre talen.
