Grannbråk
Tough shit. Man kan inte alltid få som man vill. Ta ner trädet och anlägg er pool. Låt grannen gnälla, överklaga och polisanmäla bäst den vill.
Jag är ingen jurist, men på vilka grunder skulle grannen kunna vinna något på en rättslig konflikt? Hälsa grannen att ni kommer ta ner trädet och be i så fall dem specificera vilket lagrum de menar hindrar er från att ta ner ett träd på er egen tomt.